引導(dǎo)孩子學(xué)數(shù)學(xué)，可以這樣做
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- 發(fā)布日期：2016-10-24
年齡：從出生到20歲出頭
很多孩子都說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)太難了！”——不僅僅是女孩兒，所有的孩子都一樣。孩子的腦已經(jīng)習(xí)慣于快速應(yīng)對(duì)日常生活中的問(wèn)題了，也就是 說(shuō)，跟解決代數(shù)問(wèn)題相比，他們更擅長(zhǎng)算計(jì)如何報(bào)復(fù)剛剛欺負(fù)過(guò)他的孩 子。(當(dāng)然，這種“社會(huì)性計(jì)算”也需要某種數(shù)學(xué)能力，因?yàn)樗枰孪?判斷一下周圍有多少對(duì)方的朋友，多少自己的朋友。)
孩子和很多動(dòng)物都有神經(jīng)系統(tǒng)來(lái)支持最原始的數(shù)量感。在正常情況下，這種數(shù)量感會(huì)跟人的其他能力結(jié)合在一起，使我們能夠創(chuàng)造和操縱 符號(hào)，從而生成正式的數(shù)學(xué)。這種數(shù)學(xué)只存在于某些社會(huì)文化中，在其他的社會(huì)文化中則沒(méi)有。數(shù)學(xué)看似不適合孩子的成長(zhǎng)，其實(shí)對(duì)孩子的成長(zhǎng)有益。
在過(guò)去幾十年里，人們?cè)絹?lái)越認(rèn)識(shí)到，嬰兒有很強(qiáng)的“形成跟數(shù)字有關(guān)的概念”的能力。例如，把一個(gè)物體藏到屏幕后面，之后卻出來(lái)兩個(gè)物體，嬰兒會(huì)盯著物體看很久，表現(xiàn)出驚奇。相反，如果一只米老鼠玩具“躲”到屏幕后面，然后出來(lái)一輛卡車，嬰兒一點(diǎn)兒都不關(guān)心。而如果他看到一只米老鼠跟另一只米老鼠一塊兒出來(lái)，他就會(huì)表現(xiàn)出驚奇了，注視的時(shí)間就更長(zhǎng)一點(diǎn)兒。這種注意新增加的物體的能力是數(shù)字概念的一個(gè)必要組成成分。
這種能力并不局限于較小的數(shù)。當(dāng)一個(gè) 6 個(gè)月大的嬰兒看到一系列的圖片，每個(gè)圖片上都有若干個(gè)物體(黑點(diǎn)、面孔或者任何東西)時(shí)， 他會(huì)注意到圖片上物體的數(shù)量是否翻倍或者減半了。隨著年齡的增加，這種數(shù)量感越來(lái)越強(qiáng)。對(duì)嬰兒來(lái)說(shuō)，他們不用數(shù)就能夠識(shí)別出 1 ∶ 2 的比率(例如，比較 4 個(gè)和 8 個(gè)物體，或者比較 6 個(gè)和 12 個(gè)物體)，不過(guò) 成人則能識(shí)別更精細(xì)的例如 7 ∶ 8 的比率。
數(shù)量感(分辨大小不同的群組)人人都有。數(shù)量識(shí)別則是另一種普遍性的數(shù)學(xué)能力，它是指在不需要一個(gè)一個(gè)去數(shù)的情況下就能夠立即知道有幾個(gè)物體(通常數(shù)量較小)的能力。這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)自于拉丁文 subitus，意思是“突然”。數(shù)量感和數(shù)量識(shí)別是所有動(dòng)物共有的能力，而且，人和動(dòng)物的腦中負(fù)責(zé)兩種能力的神經(jīng)系統(tǒng)可能也是相同的。
在老鼠、狗甚至鴿子身上都可以看到這些能力。這些能力為這些物種提供了一種生存優(yōu)勢(shì)：使動(dòng)物能夠?qū)κ挛锏牧窟M(jìn)行估計(jì)，從食物來(lái)源 到潛在的敵人。例如，一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)獅子聽(tīng)到別的獅子在附近咆哮時(shí)， 他們會(huì)作出反應(yīng)。但是，根據(jù)聽(tīng)到的其他獅子的個(gè)數(shù)以及自己群體成員 的多寡，它們通常會(huì)作出不同的反應(yīng)。如果覺(jué)得自己這邊數(shù)量上不占優(yōu)，他們會(huì)召集同伴來(lái)支援。同樣，對(duì)猩猩來(lái)說(shuō)，如果自己群體中個(gè)體的數(shù) 量不占優(yōu)，它們也會(huì)避免跟對(duì)方發(fā)生沖突。
為什么研究人員花了幾十年的時(shí)間才了解小孩子的數(shù)量感呢？一個(gè)原因是早期的研究人員(如皮亞杰)在實(shí)驗(yàn)中問(wèn)錯(cuò)了問(wèn)題。例如，把小球排列成幾行，有的行小球間隔較遠(yuǎn)，看起來(lái)好像更長(zhǎng)。研究人員如果 問(wèn)：“哪一行的物體更多？”那么，三四歲的兒童會(huì)指著數(shù)量較少，但是 排列得較稀疏的那一行。而如果把小球換成巧克力，并許諾孩子一會(huì)兒 就可以吃掉這些巧克力，那么，他們的表現(xiàn)要好得多。如果分析一下的 話，這個(gè)實(shí)驗(yàn)似乎測(cè)量了兩種東西：數(shù)量感和清晰表達(dá)數(shù)量感的能力。3 歲的孩子有數(shù)量感，但是他不會(huì)說(shuō)。除了讓他吃巧克力以外，你還真的 很難從他的嘴里知道他到底知不知道正確答案。
奇怪的是，如果是 2 歲的孩子，無(wú)論是小球還是巧克力，他們感知得都 很好。這個(gè)結(jié)果似乎表明，在 2 歲的時(shí)候，孩子有較清晰的數(shù)量感，但是在隨后的 1 年里，他們失去了這種抽象的感覺(jué)。到底發(fā)生了什么？一種可能是，在三四歲的時(shí)候，孩子的數(shù)量感經(jīng)歷了一個(gè)“對(duì)數(shù)量的直覺(jué)”和“一種明確的、 較晚發(fā)展起來(lái)的抽象數(shù)字感”糅合在一起的過(guò)程。到了 5 歲，一切都搞定了， 此時(shí)，他去數(shù)一數(shù)小球就行了——不過(guò)，他們也許會(huì)期待吃到巧克力。
對(duì)巧克力的喜愛(ài)似乎是一種本能，實(shí)際上的確如此。研究證據(jù)表明， 黑猩猩也能在心里對(duì)數(shù)量進(jìn)行類似于加法的組合。如果按照先后順序給 黑猩猩看 3 個(gè)盤(pán)子，每個(gè)盤(pán)子里面都有不同數(shù)量的巧克力，那么，他們 能夠判斷頭兩個(gè)盤(pán)子中的巧克力總和比第三個(gè)盤(pán)子里面的巧克力多還是 少。由此可見(jiàn)，從進(jìn)化來(lái)說(shuō)，最原始的數(shù)學(xué)能力比我們?nèi)祟惖臍v史還要 悠久，它是孩子與生俱來(lái)的能力的一部分。
在人腦和猩猩的腦中，表征數(shù)量感的腦區(qū)是一樣的。數(shù)量信息似乎 由前額葉和頂葉后部來(lái)表征。一個(gè)關(guān)鍵的腦區(qū)是頂內(nèi)溝。這是一個(gè)凹進(jìn) 去的溝槽區(qū)域，表征著特定的數(shù)字概念(例如“第十七個(gè)”)。如果這個(gè) 腦區(qū)受到損傷，人們對(duì)數(shù)量問(wèn)題的回答就只能接近正確，但是無(wú)法完全 正確——相當(dāng)于黑猩猩的水平。
數(shù)量感能夠在演化中保留下來(lái)，使科學(xué)家們覺(jué)得，我們的腦對(duì)數(shù)量 的呈現(xiàn)可能跟它們的相對(duì)大小有關(guān)，就好像有一條心理的數(shù)列一樣。有 一些證據(jù)對(duì)這種提法提供了支持，例如，讓我們判斷兩個(gè)數(shù)哪個(gè)更大的 時(shí)候，如果這兩個(gè)數(shù)相鄰(如 8 和 7)，要比兩個(gè)數(shù)相隔較遠(yuǎn)(如 8 和 2) 的時(shí)候需要更長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)反應(yīng)，這就好像相鄰的兩個(gè)數(shù)在心理空間上也 是相鄰的一樣。在判斷相鄰的兩個(gè)數(shù)的時(shí)候，頂內(nèi)溝會(huì)被激活。你可能 會(huì)覺(jué)得數(shù)量的存儲(chǔ)像計(jì)算機(jī)加工數(shù)字一樣，數(shù)字之間無(wú)論差異大小，分 辨難度差不多，但其實(shí)在腦中，情況可能完全不同。腦可能采用更加有 序的方式來(lái)表征數(shù)量，就好像尺子上面的刻度一樣。
當(dāng)猴子看到特定數(shù)量的物體或者近似數(shù)量的物體時(shí)，它們的頂內(nèi)溝位置的一些神經(jīng)細(xì)胞會(huì)被激活。一般來(lái)說(shuō)，這些腦區(qū)屬于腦中識(shí)別物體位置的神經(jīng)通路，包括識(shí)別有多少個(gè)物體，這些物體要向哪個(gè)方向移動(dòng)等。
頂葉負(fù)責(zé)“位置信息”的皮層(參見(jiàn)第 10 章)似乎有多種不同的功能。在眼睛運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，猴子和人的頂葉皮層后部都會(huì)被激活。同時(shí)，當(dāng)神經(jīng)學(xué)家讓被測(cè)試者躺在磁共振掃描儀里，完成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)任務(wù)時(shí)， 他們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)腦區(qū)還有一種有趣的能力：當(dāng)人們?cè)谛睦镒黾臃ɑ蛘邷p法運(yùn)算時(shí)，即便眼睛沒(méi)有移動(dòng)，這個(gè)腦區(qū)也被激活了。跟這個(gè)腦區(qū)有連 接的附近其他腦區(qū)緊密地參與了視覺(jué)功能，例如出現(xiàn)突然的眼球震顫(眼 跳)，對(duì)某個(gè)圖像移動(dòng)方向的覺(jué)察等。因此，我們對(duì)空間的觀察方式可能 跟我們的心理數(shù)列密切關(guān)聯(lián)。甚至，我們可以根據(jù)頂葉皮層后部的激活 模式，在一定程度上預(yù)測(cè)某個(gè)人到底是在做加法還是減法，預(yù)測(cè)的正確 度大概是中等。
跟眼睛運(yùn)動(dòng)能力有關(guān)的腦區(qū)和與基本的計(jì)算能力有關(guān)的腦區(qū)有重疊，這一點(diǎn)似乎有點(diǎn)兒怪異，但是這也表明，我們的腦加工抽象信息的能力在一定程度上依賴于我們應(yīng)對(duì)物理世界的方式。除了計(jì)算能力以外，我們的很多認(rèn)知能力都以類似的方式“鑲嵌”在其他能力中。通過(guò)這種方 式，我們的腦就能夠采用進(jìn)化過(guò)程中形成的更加具體的動(dòng)作(例如尋找獵物或者在叢林中尋找回家的路等)，來(lái)進(jìn)行抽象的思考。要想將這些估算能力轉(zhuǎn)換成精確的數(shù)學(xué)表述則需要符號(hào)表征能力。
這種能力是隨著語(yǔ)言而出現(xiàn)的。語(yǔ)言是一種高效而精細(xì)的表征信息的方 式。鸚鵡、海豚、恒河猴以及黑猩猩都能用符號(hào)來(lái)表征數(shù)量。例如，有兩只黑猩猩，一只叫作埃布爾，另一只叫作貝克。它們能從兩個(gè)數(shù)字中 選擇一個(gè)較大的，從而得到更多數(shù)量的糖果。在大多數(shù)情況下，動(dòng)物還不能對(duì)符號(hào)進(jìn)行加或減。但是有一只黑猩猩是個(gè)例外，它叫作謝巴赫， 經(jīng)過(guò)幾年的訓(xùn)練，它能完成一些簡(jiǎn)單的加法計(jì)算。
即 便 人 類 有 計(jì) 算 和 數(shù) 學(xué) 的 心 理 能 力， 但 是 大 家 并 不 經(jīng) 常 使 用。 法 國(guó)科學(xué)家斯坦尼斯亞斯 · 德阿納和皮埃爾 · 皮察研究了南美洲亞馬孫 叢林中的蒙杜魯庫(kù)人，這個(gè)部落的人不會(huì)計(jì)算，他們的語(yǔ)言中用來(lái)表 示數(shù)量的詞匯也非常少。其中只有幾個(gè)詞是精確的數(shù)量(pug ma 代表1，xep xep 代表 2)，大部分都只是近似數(shù)(如 ebapug 代表 2 和 5 之間， ebadipdip 代表 3 和 7 之間)。蒙杜魯庫(kù)人在進(jìn)行大組物體的粗略加法時(shí)還 不錯(cuò)，跟西方人做得一樣好。但是對(duì)小的數(shù)量進(jìn)行精確計(jì)算時(shí)則不行了； 例如，如果把 6 顆豆子放進(jìn)罐子，然后拿出 4 顆，問(wèn)他們還剩幾顆時(shí)， 他們會(huì)說(shuō)“0”或者“1”，很少會(huì)說(shuō)“2”。
孩子早期的估算能力能夠預(yù)測(cè)他將來(lái)的計(jì)算能力。這表明，在孩子們開(kāi)始能進(jìn)行計(jì)算之前，他們加工數(shù)量的一般能力就已經(jīng)出現(xiàn)個(gè)體差異了。那么，這種能力是否可以通過(guò)訓(xùn)練得到提高呢？也許，可以通過(guò)訓(xùn)練孩子早期的估算能力來(lái)提高他們將來(lái)的計(jì)算能力。雖然這個(gè)想法還沒(méi)有得到檢驗(yàn)，但還是很有可能的。
基于基本的數(shù)量感，我們可以構(gòu)建起更加復(fù)雜的概念，像復(fù)數(shù)、虛數(shù)、實(shí)數(shù)等?；谶@些能力以及其他方面的腦功能，我們就可以發(fā)掘出更復(fù)雜的數(shù)學(xué)能力：乘法、三角函數(shù)、微積分等等。
關(guān)于腦如何生成抽象的數(shù)學(xué)，這方面的研究才剛剛開(kāi)始，不過(guò)，研究人員已經(jīng)有了一些發(fā)現(xiàn)。例如，較高水平的數(shù)學(xué)知識(shí)需要額外的概念和更多的腦區(qū)參與進(jìn)來(lái)。代數(shù)要求孩子把他們的數(shù)量能力跟抽象符號(hào)的操縱能力結(jié)合在一起。對(duì)于剛剛開(kāi)始學(xué)習(xí)代數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，入門(mén)的方式可以多種多樣。例如，跟解方程式相比，解應(yīng)用題要相對(duì)容易一些。這些不同的處理方式要用到不同腦區(qū)。
為了考察解決問(wèn)題時(shí)到底哪些腦區(qū)參與進(jìn)來(lái)了，研究人員讓人們躺在磁共振掃描儀里面，同時(shí)解答應(yīng)用題和類似的公式。(例如：1. 服務(wù)員卡西每天當(dāng)班 4 小時(shí)，每小時(shí)賺 10 元，在下班時(shí)還能得到 12 元的小費(fèi)， 那么請(qǐng)問(wèn)，她一天到底能賺多少錢(qián)？ 2. 若 10H+12=E，且 H=4，那么， E是多少？)掃描結(jié)果表明，解應(yīng)用題時(shí)，左側(cè)前額葉皮層被優(yōu)先激活，這個(gè)腦區(qū)跟工作記憶和數(shù)量加工有關(guān)；解公式時(shí)，負(fù)責(zé)表征心理數(shù)列的 腦區(qū)被激活了，例如頂葉皮層的一部分，包括楔前葉(頂葉內(nèi)側(cè)的一個(gè) 區(qū)域)以及部分基底神經(jīng)節(jié)(對(duì)于動(dòng)作和運(yùn)動(dòng)至關(guān)重要)。
這樣的差異表明，開(kāi)始學(xué)習(xí)代數(shù)的學(xué)生可以嘗試不同的方式來(lái)解決 同一個(gè)問(wèn)題。當(dāng)問(wèn)題較難時(shí)，除了我們前面提到過(guò)的皮層區(qū)域，會(huì)有更 多的左半球腦區(qū)參與進(jìn)來(lái)。至于高等數(shù)學(xué)，像三角函數(shù)或微積分，還沒(méi) 有得到充分的研究，但是研究人員相信，這些能力可能也跟腦中負(fù)責(zé)符 號(hào)表征和空間操縱的神經(jīng)系統(tǒng)有關(guān)。
在某種程度上，上面這些發(fā)現(xiàn)支持了歐幾里得關(guān)于幾何學(xué)的名言：“通往知識(shí)殿堂的路沒(méi)有捷徑。”數(shù)學(xué)是非常復(fù)雜的系統(tǒng)，是人類最偉大的發(fā)明之一。我們能夠發(fā)現(xiàn)負(fù)責(zé)講故事和控制眼睛運(yùn)動(dòng)的神經(jīng)環(huán)路 也參與了產(chǎn)生、理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)，這本身就是一項(xiàng)了不起的發(fā)現(xiàn)。讓我們的腦適應(yīng)我們的環(huán)境，是一件極其了不起的、我們的祖先從未想過(guò)的事情。
